【安全课堂】公私钥另类解说

在一般的正式文献中,公私钥体系的解说都会涉及到大量的数学符号和公式推导。很多人看到这儿都会打退堂鼓。其最终的结果就是,很多同学,包括很多安全行业的专业人士都只知道公私钥这样一个概念,至于其具体工作流程是怎么样的,心里其实没有底。说实话,笔者在这一块上也走过弯路,看了N多的number theory的东西,最终才有所感悟。当然,本文也会涉及一些数学的东西,但这些东西是初中数学里面的内容,不会很复杂。

一、基本概念

基和幂

以a为底,x为幂的指数可表示为a^x。它的意思就是x个a连乘。

譬如

2^3 = 8, 它表示3个2连乘 2 X 2 X 2 = 8

4^2 = 14, 它表示2个4连乘 4 X 4 = 16

在这儿,a, 2, 4称为, x, 3, 2称为幂。这是本文的第一个概念。

模/取余运算

本文的第二个概念就是模运算或者取余运算。一般正式文献中,都用模运算(module operation)这个叫法。模运算就是一个数被另一个数整除之后剩余的部分。我们用%表示模运算。譬如:

3 % 2 = 1, 它表示3被2整除以后余1,因为 3 = 2 X 1 + 1

5 % 2 = 1, 它表示5被2整除以后余1,  因为 5 = 2 X 2 + 1

8 % 3 = 2, 它表示8被3整除以后余2,因为 8 = 3 * 2 + 2

我们称 m % k = r中的k称为模数,r称为余数。

以上就是看懂本文所需要的数学知识。

二、迷你公钥流程

现在A和B双方要通信,但又不想让C知道。假设A,B,C三人都处于同一个房间里,房间里有四个小隔间,A,B,C都有自己的私人小隔间;除此之外,还有一个公共的小隔间。A,B,C都不能进入别人的私人小隔间,但是他们都能访问公共小隔间。现在假设A选择了私钥9, B选择了私钥17。这两个私钥都是保密的,A,B不知道对方的私钥,C也不知道A,B的私钥。然后,A和B选定一个公钥,譬如说是11。这个公钥放在公共小隔间里,A,B,C都能看到。这个场景就是Internet的一个缩影。那么,A和B如何通信呢?

第一步:A以2为,私钥9为,公钥11为模数,计算出一个结果

A1 = (2**9)%11 = 6

B以2是,私钥17为,公钥11为模数,计算出一个结果

B1 = (2**17)%11 = 7

下图是Python的计算结果

A,B双方将计算结果放在公共隔间里面

A1 = 6

B1 = 7

第二步:现在A拿到了B的计算结果B1,B也拿到了A的计算结果A1

A以B1为,私钥9为,公钥11为模数,再计算出一个结果

B以A1为,私钥17为,公钥11为模数,再计算出一个结果

两个结果应该相等(快划重点)

A2 = B1^9%11 = (7**9)%11 =   8

B2 = A1^17%11 = 6**^17%11 =  8

这个相等的值就可以作为某个对称加密算法的密钥;这样也就实现了密钥的交换过程。当然,在实际的算法中,公钥,私钥的选择,相关计算会很复杂,计算的结果也不会这么小。但基本原理差不多。公钥也建议选择质数。上面这个算法,读者可以选择任意质数进行检验。当然,A和B双方选的私钥不能一样,因为在实际通信过程中,这个数一般会很大,而且有随机性。所以,可以避免双方的私钥一样。为什么这样的一个计算流程会得到一样的结果呢?这背后是一些数论上的东西,有兴趣可以去弄一本Number Theory看看。在上述过程中,旁观者C能一直看到公钥和第一次计算结果,但因为没有私钥,就是把这个计算过程告诉C,C也没有办法计算出结果来。这就从机制上保证了安全性。

声 明

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